极限是现代数学特别是分析学中的基础概念之一。
引子
设
$$f(x)=\begin{cases} x + 1 & x \neq 1 \\ \pi & x = 1 \end{cases}$$
求 $$\lim_{x \to 1} f(x)$$
极限可以被理解为 无限逼近 而又 无法达到 的一个状态.
极限可以用来描述一个序列随指标的变化而元素变化的趋势, 也可以用来描述一个函数的自变量逐渐接近于某个取值的时候函数值的变化趋势.
所以数学上的极限大致可以分为 数列极限 和 函数极限 .
数列极限
定义
庄子曾经在《南华经》中写道: 「一尺之棰，日取其半，万世不竭」. 这个一尺长度的物体, 每次砍掉一半, 它的长度始终在减小, 但永远不可能为$0$, 但随着砍的次数逐渐增多, 物体长度也就逐渐趋近于$0$.
如果我们用一个数列去描述这个物体的长度的变化过程:
$$L = \left \{1, \frac 12, \frac 14, \cdots, \frac {1}{2^{n-1}} \cdots \right \}$$
很显然这个数列在逐渐趋近于$0$, 那么$0$就是这个数列在无穷项处的极限.
同时我们可以发现, 无论我们给出一个多么小的接近于$0$的 正数 , 在这个无穷数列总能找到某一项的值比这个数更接近于$0$.
这个结论用数学语言来描述就是:
设${ x_n }, x_n \in {\Bbb R}, n \in {\rm N^+}, x_0 \in {\Bbb R}$.
对于任意的 正实数 $\epsilon$($\epsilon$可以 非常小 ), 存在自然数$N$, 使得当$n > N$ 时, 有$|x-x_0| < \epsilon$.
如果我们把它符号化, 那么就是:
$$\forall \epsilon > 0, \epsilon \in {\Bbb R}, \exists N \in {\Bbb N}, \forall n > N, |x-x_0| < \epsilon$$
如果满足上面那个条件, 那么我们称数列${ x_n }$收敛于$x_0$, 也就是说数列${ x_n }$在无穷项处的极限是$x_0$, 记作:
$$\lim_{n \to +\infty} x_n = x_0$$
这就是数学家柯西在十九世纪为 数列极限 做出的 严格定义 .
如果用通俗一点的语言来说, 就是随着$n$的增大, $x_n$越来越接近$x_0$.
但是并不是所有数列都有极限的, 如果一个数列 有且只有一个极限, 那么我们我们称它 收敛 , 否则我们称它 发散 .
那么如何判断一个序列是否具有极限呢, 这就涉及到我们马上要讲的单调收敛定理.
单调收敛定理
单调收敛定理(数列)是说, 如果一个实数列满足 单调且有界, 那么这个数列是有极限的(如果我们把$+ \infty$和$- \infty$也认为是极限的话).
证明的话感性理解一下还是比较简单的, 理性过程的话推荐去Wikipedia康康.
Example
我们尝试通过单调收敛定理, 来证明一下上一小节最开始时给出的那个数列存在极限.
首先, 证明单调性:
容易得出
$$\because 2^{n-1} > 2^{n-2}$$
$$\therefore \frac {1}{2^{n-1}} < \frac {1}{2^{n-2}} \quad \therefore L_n < L_{n - 1}$$
再证明有界性: 无论随着数列项数的如何增大, 元素如何变小, 但元素始终大于$0$, 所以$0$是这个数列的下界.
那么根据单调收敛定理, 这个数列是有极限的, 这个极限就是$0$.
数列极限的四则运算法则
设$x_n, y_n$两个实数列都 收敛, 且满足:
$$\lim_{n \to \infty} x_n = A, \lim_{n \to \infty} y_n = B$$
那么有:
$$\lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \pm \lim_{n \to \infty} y_n = A \pm B$$
$$\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n = A \cdot B$$
$$\text{若$B \not= 0, y_n \not= 0$}, \lim_{n \to \infty} \frac {x_n}{y_n} = \frac {\lim_{n \to \infty} x_n}{\lim_{n \to \infty} y_n} = \frac AB$$
基本极限一
在数列极限部分, 我们有一个非常重要的基本极限:
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac 1n \right)^n = e$$
这也正是自然底数$e$的定义式, 下面我们通过对这个式子的证明和了解它的应用来继续学习.
证明
设$S_n = \left( 1 + \frac 1n \right) ^ n$.
依旧是根据单调收敛定理, 我们首先要证明单调性.
根据二项式定理, 我们有:
$$\begin{aligned}
\left( 1+\frac 1n \right) ^n & = \sum_{i = 0}^n \binom {n}{i} 1^{n - i} \frac {1}{n ^ i} \\
& = \sum_{i=0}^n \binom {n}{i} \frac {1}{n^i} \\
& = \sum_{i=0}^n \frac {n!}{(n - i)!i!} \cdot \frac {1}{n^i} \\
& = 1 + n \cdot \frac 1n + \frac {n!}{(n-2)!2!} \cdot \frac {1}{n^2} + \cdots + \frac {n!}{(n-k)!k!} \cdot \frac {1}{n^k} + \cdots + \frac {1}{n^n} \\
& = 1 + 1 + \frac {1}{2!} \cdot \frac {n(n-1)}{n^2} + \cdots +\frac {1}{k!} \cdot \frac {\prod_{i=0}^{k-1} (n-i)}{n^k} + \cdots + \frac {1}{n^n} \\
& = 2 + \frac {1}{2!} \cdot (1 - \frac 1n) + \cdots + \frac {1}{k!} \cdot \prod_{i=1}^{k-1} (1 - \frac in) + \cdots + \frac {1}{n!} \cdot \prod_{i=1}^{n-1}(1- \frac in) \\
\end{aligned}$$
同理可得 :
$$\begin{aligned}
\left( 1+\frac {1}{n+1} \right)^{n + 1} & = \sum_{i = 0}^n \binom{n+1}{i}1^{n+1-i} \frac {1}{n^{i+1}} \\
& = 2 + \frac {1}{2!} \cdot (1 - \frac {1}{n+1}) + \cdots + \frac {1}{k!} \cdot \prod_{i=1}^{k-1} (1 - \frac {i}{n+1}) + \cdots + \frac {1}{(n+1)!} \cdot \prod_{i=1}^{n}(1- \frac {i}{n+1}) \\
\end{aligned}$$
容易发现:
$$\prod_{i=1}^{k-1} (1 - \frac {i}{n + 1}) > \prod_{i=1}^{k-1} (1 - \frac in)$$
而且这个数列的第$n+1$项的二项展开式还要比第$n$项的展开式多了一个:
$$\frac {1}{(n+1)!} \cdot \prod_{i=1}^{n}(1- \frac {i}{n+1})$$
所以单调性得证, 即: $$\forall n \in {\Bbb N}, S_{n + 1} > S_n$$
再证有界性:
$$
\begin{aligned}
S_n = \left( 1 + \frac 1n \right)^n & < 1 + 1 + \frac {1}{1 \times 2} + \frac {1}{2 \times 3} + \cdots + \frac {1}{(n-1)n} \\
& = 1 + 1 + 1 - \frac 12 + \frac 12 - \frac 13 + \cdots + \frac {1}{n-1} - \frac 1n \\
& < 3
\end{aligned}
$$
有界性得证.
那么根据单调收敛定理, 我们可以得到数列${ S_n}$存在极限, 证毕.
应用
首先我们可以对基本极限一这个式子做一下扩展:
$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n \right)^{kn} = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac 1n \right) ^n \right] ^k = e^k$$
$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac {1}{kn} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac {1}{kn} \right) ^{kn \frac 1k} = e^{\frac 1k}$$
其实利用到基本极限一的极限计算最重要的就是 凑.
这里有一个误区就是在刚刚开始学习的时候我们经常死套基本极限一, 以为极限里面那个$\frac 1n$的分母就必须是$n$, 指数就必须是$n$, 其实如果两个表达式互为倒数的话, 分别放在分母和指数上是没有问题的.
Sample #1
$$\text{求} \lim_{x \to \infty} \left( \frac {x+7}{x-7} \right) ^x$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to \infty} \left( \frac {x+7}{x-7} \right) ^x & = \lim_{x \to \infty} \left( \frac {x-7+14}{x-7} \right)^x \\
& = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac {14}{x-7} \right)^x \\
& = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac {14}{x-7} \right)^{\frac {x-7}{14} \cdot \frac {14}{x-7} \cdot x} \\
& = e^{\lim_{x \to \infty} \frac {14x}{x-7}} \\
& = e^{14}
\end{aligned}
$$
Sample #2
$$\text{求} \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac {1}{3x} \right)^{4x+1}$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac {1}{3x} \right)^{4x+1} & = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac {1}{3x} \right)^{3x} \right]^{\frac 43} \times \left( 1 + \frac {1}{3x}\right)^1 \\
& = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac {1}{3x} \right)^{3x} \right]^{\frac 43} \times \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac {1}{3x}\right) \\
& = e^{\frac 43} \times \left(\lim_{x \to \infty} 1 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{3x} \right) \\
& = e^{\frac 43} \times 1 = e^{\frac 43}
\end{aligned}
$$
函数极限
其实我们可以把数列当做 离散定义 (定义在$\Bbb N$上)的函数, 所以其实很多数列极限和函数极限的知识是相通的.
定义
我们来看函数$f(x) = \frac {x^2-1}{x-1}$在$x = 1$附近是什么形态.
由于众所周知的原因, $f(x)$在$x = 1$, 即$\rm A$点处是没有意义的.
仔细观察一下就能够发现$f(x)$其实被我们 强行定义 成了刚才那个模样.
化简一下可以得到$f(x) = x+1 \quad x \not= 1$.
虽然没有意义, 但是我们发现, 随着自变量取值越来越接近$1$, 函数值也在越来越接近于$2$.
那么我们可以说, 当$x$趋于$1$时, $f(x)$趋于它在$x=1$处的极限$2$, 记作:
$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac {x^2-1}{x-1} = 2$$
由此, 我们可以用$\epsilon-\delta$语言来给出函数极限的定义:
设$f(x)$在点$x = x_0$的去心邻域(即$(-\infty, x_0 - \delta) \bigcup (x_0 + \delta, +\infty)$)内有定义.
如果存在常数$L$, 使得对于任意的正数$\epsilon$(可以任意小), 总存在一个$\delta \in {\Bbb R}^+$, 使得只要$|x-x_0| \in (0, \delta)$, 那么$|f(x) - L| < \epsilon$, 则称$L$是$f(x)$在$x \to x_0$时的极限, 记作:
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$
如果把上面的文字解释符号化, 那么就是:
$$x_0, L \in {\Bbb R}, f:(-\infty, x_0 - \delta) \bigcup (x_0 + \delta, +\infty) \to {\Bbb R}$$
$$\forall \epsilon \in {\Bbb R}^+, \exists \delta \in {\Bbb R}^+, \text{若}|x-x_0| \in (0, \delta), |f(x) - L| < \epsilon$$
$$\text{那么} \lim_{x \to x_0} f(x) = L$$
函数极限的四则运算法则
$$b \in {\Bbb R} \quad \lim_{x \to x_0} bf(x) = b\lim_{x \to x_0} f(x)$$
设$f(x), g(x)$在$x = x_0$处的极限都存在, 那么:
$$\lim_{x \to x_0} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = \lim_{x \to x_0} f(x) \pm \lim_{x \to x_0} g(x)$$
$$\lim_{x \to x_0} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x)$$
$$\lim_{x \to x_0} \frac {f(x)}{g(x)} = \frac {\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)}$$
注意: 以下规则只有当等号右边的极限 存在并且不为无穷 时才成立.
基本极限二
在函数极限部分, 我们也有一个非常重要的基本极限, 就是:
$$\lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} = 1$$
下面我们还是通过对这个式子的证明和了解它的应用来继续学习.
证明
考虑画出单位圆, 做出图中几条辅助线.
首先显然对于$\forall x \in (0, 1) \quad \sin x < x$.
这一点可以由下图($y=x-\sin x$)的图像得到(当然根据常识照样可以qaq)
根据图一可以得到, 扇形OAC的面积是小于三角形OAB的面积的, 那么我们利用扇形面积公式可以得到:
$${\rm S}_\text{扇形$\rm OAB$} = \frac 12 x \cdot 1^2 = \frac x2$$
$${\rm S_{\triangle OAB}} = \frac 12 \cdot {\rm OB} \cdot {\rm BD} = \frac {\tan x}{2}$$
那么就会有
$$\frac {\tan x}{2} > \frac x2 \implies \tan x > x \implies \frac {\sin x}{\cos x} > x \implies \frac {\sin x}{x} > \cos x$$
综上我们可以得出 $$\forall x \in (0, 1) \quad \cos x < \frac {\sin x}{x} < 1$$
那么当$x \to 0$的时候, $\cos x \to 1$, $1 \to 1$, 也就是:
$$\lim_{x \to 0} \cos x = 1 \quad \lim_{x \to 0} 1 = 1$$
那么我们根据夹逼定理, 可以得到$\frac {\sin x}{x} \to 1$, 即:
$$\lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} = 1$$
证毕.
应用
Sample #1
$$\text{求} \lim_{x \to 0} \frac {\sin mx}{\sin nx}$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac {\sin mx}{\sin nx} & = \lim_{x \to 0} \frac {\sin mx}{mx} \cdot mx \cdot \frac {nx}{\sin nx} \cdot \frac {1}{nx} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac {\sin mx}{mx} \cdot mx \times \lim_{x \to 0} \frac {nx}{\sin nx} \cdot \frac {1}{nx} \\
& = \lim_{x \to 0} 1 \cdot mx \times \lim_{x \to 0} 1 \cdot \frac {1}{nx} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac {mx}{nx} = \frac mn
\end{aligned}
$$
Sample #2
$$\text{求} \lim_{x \to 0} \left( \cos x \right) ^ {\frac 1x}$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \left( \cos x \right) ^ {\frac 1x} & = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \cos x - 1 \right)^{\frac 1x} \\
& = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \cos x - 1 \right)^{\frac {1}{\cos x - 1} \cdot \frac {\cos x - 1}{1} \cdot \frac 1x} \\
& = \exp {\lim_{x \to 0} \frac {\cos x - 1}{x}} \\
& = \exp {\lim_{x \to 0} \frac {-2 \sin^2 \frac x2}{x}} \\
& = \exp {\lim_{x \to 0} (-2) \frac {\sin^2 \frac 2x}{\left( \frac x2\right)^2} \cdot \left( \frac x2 \right)^2 \cdot \frac 1x} \\
& = \exp {\lim_{x \to 0} (-2) \cdot \frac {x^2}{4} \cdot \frac 1x} \\
& = \exp {\lim_{x \to 0} \left( - \frac x2 \right)} \\
& = e^0 = 1
\end{aligned}
$$
函数的连续
我们回到本章引子时候的那个问题.
首先答案是$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.
我们可以发现, 随着$x$越来越接近$1$, 函数值$f(x)$也越来越接近$2$, 根据函数极限的定义可以得到上面的结论.
通过这个例子我们可以发现,自变量趋近于某一个值的时候, 这时的极限并不一定等于函数值.
那么我们在这里给出函数连续的定义, 如果函数在一个点的极限就等于它的函数值, 那么我们称函数在这个点连续.
用符号语言说就是:
$$\text{如果} \lim_{x \to x_0} = f(x_0) \quad \text{那么$f(x)$在$x_0$处连续}$$.
洛必达法则
概念
洛必达法则, 是一种利用导数来计算 不定型极限 的方法, 但实际上由约翰$\cdot$伯努利发现.
令$c \in {\Bbb R } (\text{扩展实数})$, 两函数$f(x), g(x)$在以$x = c$为中心的去心邻域上可微, 且$\lim_{x \to c} \frac {f(x)}{g(x)} \in {\Bbb R}, g’(x) \not= 0$
那么如果$f(x), g(x)$都趋近于无穷或$0$, 我们就称这个式子是 不定型极限.
此时, 洛必达法则表明:
$$\lim_{x \to c} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac {f’(x)}{g’(x)}$$
而对于并不是洛必达法则标准形式的函数, 如$0^0, 0^{\infty}, \infty^0, \infty - \infty$等形式的极限, 我们可以将它转化为标准形式来计算.
其他形式的转化
$0 \cdot \infty$型
$$\text{若}\lim_{x \to c} f(x) = 0, \lim_{x \to c} g(x) = \infty$$
$$\text{那么} \lim_{x \to c} f(x)g(x) = \lim_{x \to c} \frac {f(x)}{g^{-1}(x)} = \lim_{x \to c} \frac {f’(x)}{-\frac {g’(x)}{g^2(x)}} $$
$\infty - \infty$型
$$\text{若}\lim_{x \to c} f(x) = \infty, \lim_{x \to c} g(x) = \infty$$
$$\text{那么} \lim_{x \to c} f(x)-g(x) = \lim_{x \to c} \frac {g^{-1}(x) - f^{-1}(x)}{(f(x)g(x))^{-1}}$$
$0^0$型和$\infty^0$型
$$\text{若}\lim_{x \to c} f(x) = 0^+, \lim_{x \to c} g(x) = 0$$
$$\text{或}\lim_{x \to c} f(x) = \infty, \lim_{x \to c} g(x) = 0$$
$$\text{那么} \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x\to c} \frac {g(x)}{(\ln f(x))^{-1}}$$
$1^{\infty}$型
$$\text{若}\lim_{x \to c} f(x) = 1, \lim_{x \to c} g(x) = \infty$$
$$\text{那么} \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = \exp \lim_{x \to c} \frac {\ln f(x)}{g^{-1}(x)}$$
应用
Sample #1
$$\text{求} \lim_{x \to 0} \frac {x - \tan x}{(\sin x)^3}$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac {x - \tan x}{(\sin x)^3} & = \lim_{x \to 0} \frac {x - \tan x}{x^3} \quad \quad \text{注:这里是用等价无穷小代换$\sin x \sim x$} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac {(x - \tan x)^{\prime}}{(x^3)^{\prime}} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac {1 - \sec^2 x}{3x^2} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac {-\tan^2x}{3x^2} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac {-x^2}{3x^2} = -\frac 13
\end{aligned}
$$
Sample #2
$$\text{求} \lim_{x \to 0} \frac {2\sin x-\sin 2x}{x - \sin x}$$
这题就是反复洛必达, 洛到能算为止………
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac {2\sin x-\sin 2x}{x - \sin x} & = \lim_{x \to 0} \frac {2\cos x - 2\cos 2x}{1 - \cos x} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac {-2\sin x+4\sin 2x}{\sin x} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac {-2 \cos x + 8\cos 2x}{\cos x} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac {-2 \cos 0 + 8\cos 0}{\cos 0} = 6
\end{aligned}
$$
Sample #3
$$\text{求} \lim_{x \to 0} \frac {a^x-1}{x}$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac {a^x-1}{x} & = \lim_{x \to 0} \frac {(a^x)^{\prime}}{x^{\prime}} \\
& = \lim_{x \to 0} \frac {a^x \ln a}{1} \\
& = \ln a \lim_{x \to 0} a^x \\
& = \ln a
\end{aligned}
$$
Sample #4
$$\text{求} \lim_{x \to +\infty} \frac {\ln x}{x^{\alpha}} \quad \alpha > 0$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to +\infty} \frac {\ln x}{x^{\alpha}} & = \lim_{x \to +\infty} \frac {x^{-1}}{\alpha x^{\alpha - 1}} \\
& = \lim_{x \to +\infty} \frac {1}{\alpha x^{\alpha}} = 0
\end{aligned}
$$
Sample #5
$$\text{求} \lim_{x \to \frac {\pi}{2}} (\sec x - \tan x)$$
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to \frac {\pi}{2}} (\sec x - \tan x) & = \lim_{x \to \frac {\pi}{2}} \left( \frac {1}{\cos x} - \frac {\sin x}{\cos x} \right) \\
& = \lim_{x \to \frac {\pi}{2}} \left( \frac {1 - \sin x}{\cos x}\right) \\
& = \lim_{x \to \frac {\pi}{2}} \frac {-\cos x}{-\sin x} = 0
\end{aligned}
$$
一些其他极限相关
无穷大和无穷小
无穷小
我们称以$0$为极限的量称为无穷小量.
若$x_0$是一个 扩展实数, 那么如果
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$$
那么我们称$f(x)$为$x \to x_0$时的无穷小量.
注意:
- 无穷小 不等同于 一个非常小的数, 比如$\left( \frac {1}{19260817} \right)^{114514}$非常小, 但它不是无穷小量, 无穷小量 比任何数都要更接近$0$.
- 无穷小是一个不断趋近于$0$的 变化过程.
无穷大
在自变量$x$的某一变化过程中, 若函数值$f(x)$无穷增大, 那么称$f(x)$是一个无穷大量, 实际上无穷大量是一种 极限不存在 的形式.
注意:
- 无穷大 不等同于 一个非常大的数, 比如$19260817^{114514}$很大, 但是它不是无穷大量, 无穷大是一个 越来越远离 的过程
- 无穷小的倒数是无穷大, 反之也成立.
无穷小的比较
设$F(x)$和$G(x)$都是$x \to x_0$时的无穷小:
如果$\lim \frac {F(x)}{G(x)} = 0$, 则称$F(x)$是比$G(x)$高阶的无穷小，记为$F(x) = \sigma[G(x)]$.
显然此时$F(x)$变化要比$G(x)$快。
如果$\lim \frac {F(x)}{G(x)} = C (C \not= 0)$, 则称$F(x)$是和$G(x)$同阶的无穷小.
如果$\lim \frac {F(x)}{G(x)} = \infty$, 则称$F(x)$是比$G(x)$低阶的无穷小.
如果$\lim \frac {F(x)}{G(x)} = 1$, 则称$F(x)$和$G(x)$是等价无穷小，记为$F(x) \sim G(x)$.
如果$\lim \frac {F(x)}{G^k(x)} = C (C \not= 0)$, 则称$F(x)$是$G(x)$的$k$阶无穷小。
常用的等价无穷小替换
$$\sin x \sim x, \tan x \sim x, \arcsin x \sim x, \arctan x \sim x$$
$$1 - \cos x \sim \frac 12 x^2, \ln (1+x) \sim x, e^x - 1 \sim x, a^x - 1 \sim x\ln a$$
零点定理和介值定理
就是大家都能看出来的一点点连续函数的小性质。
零点定理是说 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b) < 0$, 那么存在点$\xi \in (a,b)$, 使得$f(\xi) = 0$
介值定理是说 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a) \not= f(b)$, 那么存在点$\xi \in (a,b)$ 使得$f(\xi) = C$ $C$在$f(a),f(b)$之间。
更新日志
- 2020/01/07 本文被创建, 并更新了”引子”部分.
- 2020/01/08 本文更新了”数列极限”的”定义”一节.
- 2020/01/09 本文更新了”数列极限”的”单调收敛定理”, “四则运算法则”, “基本极限一”几节.
- 2020/01/10 本文更新了”数列极限”的”基本极限一”之”应用”一小节, “函数极限”的”定义”, “四则运算法则”两小节.
- 2020/01/13 本文更新了”函数极限”的”基本极限二”一节.
- 2020/01/15 本文更新了”函数极限”的”函数的连续”一节.
- 2020/01/23 本文在鸽了一周之后, 更新了”函数极限”的”洛比达法则”一节和”其他极限相关”的”无穷大与无穷小”一节.
- 2020/05/24 本文在鸽了整整四个月之后，更新了”其他极限相关”的”无穷小的比较”、”零点定理和介值定理”两小节.
- 2020/05/24 本文正式完结.